學校忘了教我們的一些事

有一位金馬獎影后接受平面雜誌的訪問，她提到在中學的時候學習數學和理化的回憶，簡直是一場惡夢。她不知道她現在獲得金馬獎影后的成就和她當初學習三角函數有什麼樣的關係。那篇報導的結論是天生我材必有用，不需要強迫每一個人去學習不適合她的學問。

這是一個很有趣的話題，可以引出兩個問題：

1. 為什麼學習數學和理化對一個金馬獎影后是一場惡夢？
2. 學習數學跟理化和變成金馬獎影后有什麼樣的關聯？

這兩個問題可以花很長的時間來討論，在開始之前我們要先來探究問題的根源。

在台灣傳統的學校教育一直有一個很大的問題，或者說和西方的教學方式有很大的差異，就是在學校的時候只是告訴學生，你如果對現在所學的內容不了解，就先把它背下來，有一天你就會明白。

因此你在國中開始接觸文言文的時候，老師教你把下面的句子背起來，不會念的字直接查注音：

關關雎鳩，在河之洲

窈窕淑女，君子好逑

這是我上中學老師第一次補充的課外讀物，就是一篇文言文。後兩句話還可以猜出是什麼意思，但實在不知道和前兩句的關聯。老師說這叫做文言文，想辦法背下來就好，不要問那麼多，長大你就知道有什麼好處。但我實在不知道為什麼古時候的人要故意去寫看不懂的文章？是在賣弄自己的學問嗎？

其實不管是哪一個學科，我們不得不承認有一些少數天賦異稟的人，不需要說明太多，他們便能夠理解。這也是為什麼莫札特三歲就在大鍵琴上摸索三和音、五歲開始作曲。畢卡索參觀一場兒童畫展時，他說：「在他們這個年紀，我已經可以畫得像拉斐爾，但我卻花了一輩子的時間，才學會像他們那樣畫畫。」

但是不要忘了，這些都是極少數的人，而且也不要太羨慕他們，他們很多都過得不是很快樂。可是我們大部分的人都是凡夫俗子，也需要學習不同的學科，學校往往要求我們看不懂聽不懂就先把它背下來，等到以後自然會了解。這不是對的，或者說這不是必然的，至少在西方不是如此。

如果你有機會去比較台灣和西方的教科書，有一個很大的差別，就是書本的厚度。

我們先來看下面這個例子。四十多年前中學的時候老師是這樣教我們三角函數的：

老師只告訴你三角函數非常重要，聯考（會考）的題目一定會考，所以直接告訴你三角函數的定義，然後要你背起來，接下來就是永無止境的計算題向你蜂擁而來。

現在我們用如何測量台北101的高度為例子。如果手上只有簡單的工具，而且不能去網路上查，我如何能夠知道台北101的高度是多少？

台灣高中教這段通常會這樣講：

老師會直接帶你做一個「模型」：比如要算台北101多高，先把它想成一個直角三角形。你站在地面量到大樓的距離，再抬頭看頂端量仰角，然後用三角函數來算高度。因為同一個角度的直角三角形，邊長比例是固定的，所以可以直接用

tanθ = 對邊 ÷ 鄰邊

把未知的高度解出來。重點通常是「你要會把現實問題翻成數學題」，然後選對公式來算。

美國教材通常會先提出問題：「如果你不能直接爬到台北101頂端量高度，你如何知道它有多高？」學生透過測量距離與仰角，發現可以建立一個與大樓、地面和視線形成的直角三角形。接著說明，因為具有相同角度的直角三角形比例固定，因此可以使用 tangent ratio 來推算高度。重點不只是算出答案，而是理解三角比是一種利用角度與比例解決現實測量問題的工具。

那為什麼美國的教科書會比台灣厚得非常多呢？美國教材在進入一個全新的數學單元時，常常會留一個完整的跨頁（甚至一個獨立小節），專門講這個數學工具的「前世今生」。

如果翻開美國高中的 Geometry（幾何）或 Pre-Calculus（微積分預備課程）課本，在進入三角函數單元時，你通常會看到以下幾個歷史故事被用來當作引言：

1. 它是從「看星星」開始的（天文學背景）

美國教材會告訴學生，三角學（Trigonometry）這個詞源自希臘文，意思是「三角形的測量」。但好玩的是，它最早不是用來量地上的三角形，而是古希臘人、巴比倫人為了解決觀測天體運行（Astronomy）而發明的。因為星星距離我們太遠，古人只能測量兩顆星之間的「夾角」，並試圖用圓形的「弦長」去推算距離。

2. 「正弦（Sine）」竟然源自一個翻譯誤會

課本有時會穿插一些數學八卦。像是 sin（Sine）這個詞，最早是印度數學家叫它 jya（意思是弓弦），後來傳到阿拉伯世界變成 jiba。結果歐洲學者在翻譯阿拉伯文獻時，把它誤認成另一個發音相近的詞 jaib（意思是衣服的皺褶、胸前口袋），於是就用拉丁文的「皺褶/海灣」（sinus）翻譯它，最後演變成今天的 Sine。

老師會用這個故事讓學生覺得：「原來我們現在天天按的計算機按鈕，背後有一段跨越印度、阿拉伯到歐洲的文化交流史。」

3. 為什麼要在課本裡講歷史？

美國教育學界（例如美國數學教師協會 NCTM）非常推崇將歷史融入教學，主要有幾個原因：

破除「數學是天才憑空發明」的迷思： 讓學生知道，這是一群古人在沒有高科技的情況下，為了解決導航、做地圖、算農作季節等現實需求，集體累積出來的智慧。

跨學科連結（Cross-curricular connection）： 這能把數學、歷史、地理（大航海時代的船隻導航）和科學（物理天文）串連在一起。對於那些討厭純算術、但喜歡歷史或故事的學生來說，這是一個很好的「切入點」。

現在回到那一位金馬獎影后的疑問。就算現在知道學習三角函數的好處，但和我有什麼關係呢？我沒有辦法回答這個問題，但可以用另外一個例子解釋：你永遠不知道你學這個東西是為什麼，但是你永遠不知道哪一天你可能會用到。

在疫情的時候有一個名詞突然得到全世界的矚目，就是mRNA疫苗。其實RNA這個東西在國中的生物課本裡面就有出現，因此如果你知道RNA是什麼，你對於注射到身體裡面的疫苗就會有一些概念，即使你不是醫學專家，你對於會影響自己身體健康的疫苗也會非常的關心。

人一生當中要學習非常多的知識，但就是因為學校在教授這些知識的時候往往忽略了先後的順序，直接告訴我們結果，而對於知識發展的由來以及過程予以簡略。這會造成什麼問題呢？第一步就很難理解，第二個在心中產生疑問，我為什麼要學習這個知識？一方面產生不出學習的動機，對於真的想學的人也產生了很大的障礙。

其實不只學習如此，在進入社會開始工作，這個問題一樣存在。很多新人進公司的第一天，前輩就丟來一本厚厚的SOP手冊，叫他照著步驟執行，從來不說「這個流程是為了解決什麼問題」。結果新人只會照本宣科，一旦遇到手冊沒寫到的情況就不知所措。這和學校老師叫你背三角函數，其實是同一件事。為什麼老師和前輩會一再犯同樣的錯誤？心理學有一個概念叫做「知識的詛咒」（Curse of Knowledge）。意思是：當你已經深刻理解某件事之後，你就很難再想像一個完全不懂的人是什麼感受。老師忘記了自己第一次看到三角函數時的困惑，前輩忘記了自己剛入職時對公司流程的陌生感。他們不是刻意為難你，而是他們的大腦已經無法回到「不知道」的狀態。知道了這一點，或許可以對他們多一點理解，但這也提醒我們：真正好的老師或導師，是那些還記得自己當初學習時有多困惑的人。

那麼，什麼樣的人才算是真正理解一件事？諾貝爾物理獎得主費曼（Richard Feynman）有一個著名的標準：如果你無法用簡單的語言向一個完全不懂的人解釋清楚，代表你自己其實也還沒有真正理解它。這就是為什麼知道「來龍去脈」如此重要。當你明白一個知識是為了解決什麼問題而誕生，你才算是真正掌握了它，而不只是記住了它。當然，有人可能會問：難道每一個知識都要先上一堂歷史課嗎？那學習的效率豈不是更低？這個問題問得好。這裡並不是要求所有東西都要追溯到幾千年前，而是說，當你要進入一個全新的領域時，給自己或學生一個「這件事為什麼值得存在」的理由，哪怕只是一句話，也足以大幅降低學習的心理阻力。剩下的細節，自然更容易記住。

我會用更多的例子來說明這些屢見不鮮的狀況，也讓你了解，許多學問不如你想得那麼艱澀難懂。只要知道這些知識的發展來由，你會更容易吸收理解，這就是成立這個部落格的目的。

回到那位金馬獎影后的故事。她或許永遠不會用到三角函數，但如果當年的老師告訴她：「人類為了測量遠處看不到的距離，才發明了這個工具」，說不定她對學習的感受會完全不同。知識本身從來不是問題，問題只是我們從來沒有被告知，它從哪裡來，又為什麼存在。

知識是有價的。如果您喜歡這篇文章，何不請我喝杯咖啡，支持我寫更好的文章與你分享！